편미분 문서 원본 보기

{{경제학}}
'''편미분'''은 다변수함수에서 하나의 변수에 대해서만 미분하는 방법이다.

== 설명 ==
효용함수 <math>U=f(x, y)</math>가 존재한다고 가정하자. 어떤 굉장히 작은 한 지점에서 효용함수의 변화를 구한다고 할 때, 효용함수에 영향을 미치는 변수는 <math>x</math>와 <math>y</math>일 것이다. 그러나 오직 <math>x</math>의 아주 작은 변화에 의한 효용함수의 변화를 구하려고 한다면, <math>y</math>는 고정된 값인 상수일 것이다.<ref>당연하게도 <math>y</math>가 변화하는 수라면 효용함수의 결과에는 변수 <math>x</math>, <math>y</math> 모두의 영향이 미칠 것이다.</ref>

그리고 우리는 효용함수 <math>U</math>를 <math>x</math>에 대해 미분하라는 것을 다음과 같이 표현한다.

<math>U_x={\partial U \over \partial x}</math>

그리고 바로 <math>U</math>를 <math>x</math>에 대해 미분한 것이 한계효용(<math>MU</math>)이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

<math>U_x={\partial U \over \partial x}=MU_x</math>

== 예시 ==
효용함수 <math>U=2x^2+3y^3+5</math>를 각각 변수 <math>x</math>와 <math>y</math>로 미분한 형태는 각각 다음과 같을 것이다.

<math>U_x=4x</math>

<math>U_y=9y^2</math>

좀 더 보자면, 효용함수 <math>U=2x^5+4x^3y^2+x^2y+2xy^3-y^4</math>를 각각 미분한다면 다음과 같을 것이다.

<math>U_x=10x^4+12x^2y^2+2xy+2y^3</math>

<math>U_y=8x^3y+x^2+6xy^2-4y^3</math>

변수 <math>x</math>에 대한 미분이라고 해서, 변수 <math>y</math>가 상수로 취급된다고 완전히 <math>y</math>를 제거하는 실수를 해서는 안된다. 말 그대로 <math>y</math>는 상수이기 때문에  변수 <math>x</math>와 곱해진 항이 있다면 그대로 두어야 한다.

== 각주 ==